「Q.E.D.」は何の単語の略?【理系雑学】

数学の証明などで用いられている「Q.E.D.」という言葉があります。
この言葉自体は有名なので理系でなくてもご存じの方が多いと思います。
ですがこれはどういう単語の略なのかをご存じですか?
今回はそんな「Q.E.D.」についてご紹介していきます。

Q.E.D. は何の略?

「Q.E.D.」はラテン語の「Quod Erat Demonstrandum」の略です。

と書いても私を含めラテン語を読めない方が大半だと思いうので詳しく解説させていただきます。
それぞれの単語の意味は以下の通りです。

「Quod」:「~(という)こと」
「Erat」:「~でありつづけた」
「Demonstrandum」:「証明する」

これらを合わせて「Quod Erat Demonstrandum」は
「~ということが証明されるべきであり続けた」→「以上が証明されるべきことであった」
という意味になります。


ということで「Q.E.D.」≒「証明終了」といった感じで、単に証明終了という意味ではないですがほぼ同じ使われ方をしています。

Q.E.D. の使い方

Q.E.D.はほぼ証明終了という意味で、意味の通り証明が終わった時に使えばよいということはなんとなくご理解いただけたかと思います。
では実際にどのように使うものなのかをご紹介していきます。

A=Bであることの証明を行う場合を例に見ていきましょう。


正:
A=Cである
B=Cである
よってA=Bである
Q.E.D.

誤:
A=Cである
B=Cである
Q.E.D.


どちらもAとBの値がそれぞれ同じためA=Bであるということを証明しています。
二つの違いはQ.E.D.の前に「よってA=Bである」があるかないかです。
大した違いでないように見えるかもしれませんが、実は証明するうえでは大した違いなのです。

今回は数学的な難しい解説を抜きにしてご説明すると、先ほど書いたようにQ.E.D.は以上が証明されるべきことであったという意味があります。
なのでQ.E.D.の直前に証明されるべきことが書かれていないと意味が通らなくなってしまいます。
(Q.E.D.は単に証明終了という意味の記号ではないため)

実際学校で習う証明もQ.E.D.と書くかは別として、最後に証明されるべきことが証明されたという一文を書かないと不正解になります。

Q.E.D. と同じ意味の記号

証明終了という意味で使われるのはQ.E.D.だけではありません。
それは墓石記号 (tombstone mark) やハルモス記号 (Halmos mark) と呼ばれるものです。
記号としては「∎」や「□」などです。
この形は長方形でも正方形でも良く、さらに中が黒塗りでも塗りつぶされていなくても良いです。

使い方はQ.E.D.と同じで、証明の最後に書きます。


A=Cである
B=Cである
よってA=Bである


証明自体に馴染みがない方だとなんだか奇妙な感じに見えるかもしれませんが、これは実際に使われている記号です。
大学の私が所属していた研究室の教授もこの記号を使っていました。

まとめ

Q.E.D.は知っていても Quod Erat Demonstrandum の略だと知っている方はかなり少なかったのではないでしょうか?
また正確にはQ.E.D.は証明終了という意味ではないというのも意外だったかもしれません。(ほぼ同じ意味で扱われていますが…)

私も理系ですがネットで調べるまでは全然知りませんでした。
ちなみに高校の時の数学の先生が「Q.E.D.はクエスチョンエンドだよーんの略だよ」と言っていましたが1単語もあっていませんでしたね。

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